第十二章 节 神奇的双螺旋（第2 / 4页）

对于自由空间中的匀速运动，(8)式中的η=0，并且u是常数，由此而来，(8)式右端的第一项等于0.以及ξ是常数。于是，把(9)式代入(8)式便可以得出：

d2m/dt2=k[u2c2/(c2+u2)]μ(11)

再把关系式v=uc/(c2+u2)1/2(12)

代入上式，则有：d2m/dt2=kv2μ(13)

我们用曲率半径p=1/k代入上式，则有：

ds=udt*;

以及，d2s=ηdt*2(7)

由于这里是“纯量”之间的微分运算，所以不必考虑绝对速度和绝对加速度的方向。再者，由于这里只限于讨论“绝对加速度”为常数时的情况，因此，我们将(5)和(7)式同时代入(4)式，便可以得出：

d2m/dt2=(ηdt*2/dt2)t+k(udt*/dt)2μ(8)

不难看出，上式等号右边的第一项代表了动点m的切向加速度，而第二项代表了它的法向加速度。等式左边的二阶导数d2m/dt2则是静止观测者、用静止的钟、所得出的动点m在曲线m(t)上运动的“相对加速度”。显然，这个“相对加速度”乃是“切向加速度”与“法向加速度”的矢量合成结果。

d2m/dt2=(v2/p)μ(14)

这就是“匀速圆周运动”的基本公式。这一结果表明：在一个与外界没有任何联系的封闭的自由空间内，物体的绝对线速度u和相对加速度都是常数，且其方向指向圆心。它的运动轨迹则是一个封闭的圆周。当体系本身具有恒定的初速度u0时，它的运动轨迹就是一条等螺距的螺旋线。

第二，粒子在均匀引力场(η=const.)中的运动

下面，我们来研究在均匀引力场中，物质的运动方程。为了简便起见，这里选择微观粒子沿着x轴方向的运动为运动的正方向。这里区分为两种运动状况来加以考虑。

第一，粒子在自由空间中的曲线运动

按照广义时空相对论的观点：在相互作用传播速度有限性的前提下，运动系上的钟、与静止系上的钟，不可能绝对地同步地记录到一个运动事件的两种不同的时间坐标t*和t。因此，如果利用不同的参变数t和t*来表示(4)式的话，则相应的数学形式也就有所不同。根据本文讨论的需要，我们直接按照广义时空相对论的理论结果，写出运动时钟的纯量读数t*和静止时钟的纯量读数t之间的关系：

dt*=ξdt，或dt*/dt=ξ(9)

其中，ξ=c/(c2+u2)1/2(10)