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《249函数之妙——x\/e^x（续）》
一日，众学子再度齐聚，戴浩文先生神色肃然，缓缓开口道：“前番吾等探讨函数 f(x)=x\/e^x，今日吾将深入剖析，以启汝等之智。”
学子们皆正襟危坐，洗耳恭听。
“且论此函数之对称性。细察之，虽此函数无明显轴对称或中心对称，然可通过变换探寻其潜在对称之性。设 t(x)=-x\/e^(-x)=xe^x，与原函数 f(x)=x\/e^x 相较，二者看似无直接对称关系。然若深入分析其导数，t'(x)=e^x+xe^x=(1+x)e^x，f'(x)=(1 - x)\/e^x，虽导数不同，但亦可从中窥探其变化之规律差异，为进一步理解函数性质提供新视角。”
学子甲问道：“先生，此对称性之探寻有何深意？”
戴浩文先生答曰：“对称性之研究可助吾等更全面地认知函数之特征。虽此函数无传统之对称，然通过此类分析，可拓展思维，洞察函数间之微妙联系。于实际问题中，或可借此发现不同情境下之潜在规律，为解决复杂问题提供新思路。”
“再观函数之复合。设 u(x)=(x\/e^x)^2，此乃函数 f(x)=x\/e^x 之自复合。求其导数，u'(x)=2*(x\/e^x)(1 - x)\/e^x=(2x(1 - x))\/e^(2x)。分析此导数，可判 u(x)之单调性与极值。当 2x*(1 - x)＞0，即 0＜x＜1 时，u'(x)＞0，u(x)单调递增；当 x＜0 或 x＞1 时，u'(x)＜0，u(x)单调递减。故函数 u(x)在(0,1)单调递增，在(-∞,0)与(1,+∞)单调递减。且当 x=0 或 x=1 时，取得极值。”
学子乙疑惑道：“先生，此复合函数有何用处？”
先生曰：“复合函数之研究可丰富对原函数之理解。于实际问题中，若函数关系较为复杂，常涉及复合之情形。通过分析复合函数之性质，可更好地把握整体变化规律，为解决实际问题提供有力工具。”
“又设 v(x)=e^(x\/e^x)，此为以原函数为指数之复合函数。求其导数，v'(x)=e^(x\/e^x)*(1 - x)\/e^x。分析其导数之正负，可判 v(x)之单调性。当 1 - x＞0，即 x＜1 时，v'(x)＞0，v(x)单调递增；当 x＞1 时，v'(x)＜0，v(x)单调递减。故函数 v(x)在(-∞,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减。”
学子丙问道：“先生，此复合函数与前之复合有何不同？”
先生答曰：“二者复合方式不同，导数表达式亦异，故其单调性与极值情况各不相同。此展示了函数复合之多样性，可根据不同需求选择合适之复合方式，以更好地分析问题。”
“今论函数与数列之联系。设数列{a?}，a?=n\/e^n。分析此数列之单调性与极限。求其相邻项之比，a???\/a?=(n + 1)\/n*e^(-1)=(1 + 1\/n)\/e。当 n 趋向于无穷大时，1\/n 趋近于零，故 a???\/a?趋近于 1\/e＜1。由此可知，当 n 足够大时，数列单调递减。且由函数 f(x)=x\/e^x 当 x 趋向于正无穷时趋近于零可知，数列{a?}之极限为零。”
