第二十二章 节 传奇共分享 (第2/5页)

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比如古代的三等分任意角、倍立方、化圆为方问题，是古希腊三大几何问题，被并列为古代数学的三大千年难题。

公元前4世纪，托勒密一世定都亚历山大城。他凭借优越的地理环境，发展海上贸易和手工艺，奖励学术。他建造了规模宏大的“艺神之宫”，作为学术研究和教学中心；又建造了著名的亚历山大图75万卷。托勒密一世深深懂得发展科学文化的重要意义，邀请著名学者到亚历山大城，当时许多著名的希腊数学家都来到了这个城市。

亚历山大城郊有一座圆形的别墅，里面住着一位公主。圆形别墅中间有一条河，公主的居室正好建立在圆心处。别墅南北围墙各开了一个门，河上建了一座桥，桥的位置和南北门位置恰好在一条直线上。国王每天赏赐的物品，从北门运进，先放到南门处的仓库，然后公主再派人从南门取回居室。

一天，公主问侍从：“从北门到我的卧室，和从北门到桥，哪一段路更远？”侍从不知道，赶紧去测量，结果是两段路一样远的。

过了几年，公主的妹妹小公主长大了，国王也要为她修建一座别墅。小公主提出她的别墅要修的像姐姐的别墅那样，有河，有桥，有南北门。国王满口答应，小公主的别墅很快就动工了，当把南门建立好，要确定桥和北门的位置时，却出现了一个问题：怎样才能使得北门到卧室和北门到桥的距离一样远呢？

已知南门位置为p，卧室（圆心）为o，设北门位置为q，桥为k，要确定北门的和桥的位置，关键是做出∠opq，设po和河流的夹角是a，可推出∠kpo=（180-2a）/3。

即只要能把180-2a这个角三等分，就能够确定出桥和北门的位置了。

工匠们试图用尺规作图法确定出桥的位置，可是他们用了很长的时间也没有解决。于是他们去请教阿基米德。

阿基米德用在直尺上做固定标记的方法，解决了三等分一角的问题，从而确定了北门的位置。但阿基米德是在尺上做了标记刻度，这在尺规做图法中其实是不允许的。

这个故事提出了一个数学问题：如何用尺规三等分任意角，这个问题连阿基米德都无法解答。

后人把几何问题转换成代数语言：

一个平面作图问题，前提总是给了一些平面图形，例如，点、直线、角、圆等，而直线是由两点决定的；一个角可由其顶点和每边上取一点共三点决定；圆由圆心和圆周的一点决定；所以平面几何作图问题总可以归结为给定n个点即n个复数z1，....，zn(当然还有z0=1)。

尺规作图过程也可以看作利用圆规和直尺不断得到新的复数，所以问题就变成为：给了一批复数z0，z1，...zn和z，能否从z0，z1，...zn出发利用尺规得到复数z。

于是可给出如下递归定义：