第二十二章 节 传奇共分享 (第3/5页)

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定义：设s={z0=1，z1，...zn}是n+1个复数，将

(1)z0=1，z1，...zn叫做s-点；

(2)过两个不同的s-点的直线叫s-直线，以一个s-点为圆心、任意两个s-点之间的距离为半径的圆叫s-圆；

(3)由s-直线与s-直线、s-直线与s-圆、s-圆与s-圆相交的点也叫s-点。

上面这个定义完全刻画了尺规作图过程，如果以p表示全体s-点的集合，那么p也就是从s={z0=1，z1，...zn}出发通过尺规作图所得到的全部复数。

定理：设z1，...zn(n≥0)为n个复数。设f=q(z1，...zn，z1'，...zn')，(z'代表共轭复数)，那么，一个复数z可由s={z0=1，z1，...zn}作出的充要条件是z属于f(u1，...un)。其中u12属于f,ui2属于f(u1，...ui-1)。换言之，z含于f的一个2次根号扩张。

系：设s={z0=1，z1，...zn}，f=q(z1，...zn，z1'，...zn')，z为s-点，则[f(z)：f]是2的方幂。

以下证明三等分任意角的不可能性，证明尺规作图不能三等分60度角：

60度角即相当于复数z1=1/2+√3/2i。从而s={z0=1,z1}，f=q(z1,z1')=q(√-3)。如果能作出20度角，当然也能得到cos20，但是cos20满足方程4x3-3x-1/2=0，即8x3-6x-1=0。由于8x3-6x-1在q[x]中不可约，从而[q(cos20)：q]=3，于是

6=[q(cos20,√-3)：q]=[f(cos20)：q]=[f(cos20)：f][f：q]

由于[f：q]=[q(√-3)：q]=2，所以[f(cos20)：f]=3，根据上面的系可知cos20不是s-点，从而60度不可能三等分。

。。。

有一位古希腊人埃拉托色尼，博学多才，不仅通晓天文，而且熟知地理；又是诗人、历史学家、语言学家、哲学家，曾担任过亚历山大博物馆的馆长。

他用简单的测量工具计算出了地球的周长，他发现：离亚历山大城约800公里的塞恩城（今埃及阿斯旺附近），夏日正午的阳光可以一直照到井底，因而这时候所有地面上的直立物都应该没有影子。但是，亚历山大城地面上的直立物却有一段很短的影子。他认为：直立物的影子是由亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角所造成。从地球是圆球和阳光直线传播这两个前提出发，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角。按照相似三角形的比例关系，已知两地之间的距离，便能测出地球的圆周长。

埃拉托色尼测出夹角约为7度，是地球圆周角（360度）的五十分之一，由此推算地球的周长大约为4万公里，这与实际地球周长（公里）相差无几。